Cam Design(0) - Initiation

간단한 생산 기계는 차치하더라도, 우리 주변의 거의 대부분의 생산 기계에는 캠-팔로워 설계가 포함되어 있다. 허나 보통의 공학도 및 캠 설계에 관심이 있으신 분들의 경우, 기계를 직접 소유하고 있지 않은 경우가 대부분이라 만져보고, 냄새맡고(...?), 맛보고(......) 할 수 없는 경우가 대부분이다. 해서 간단하게 딱 한 가지의 예를 일단 들어보기로 한다.[1]
e.g.) 내연기관 엔진

Fig - 1.1 토요타 직분사 디젤 터보엔진.[2]. (1GD-FTV)

멋지지 않은가? 가슴이 울리지 않는가?(아냐) 사실 본인이 차에 그렇게 관심이 있는 것은 아니지만, 1) 운동을 담당하고 2) 사이즈가 크며 무엇보다 3) 웅웅대는 소리를 굉장히 좋아하기 때문에 본능적으로 끌리는 부분이 있다. 각설하고, 토요타가 생산한 해당 엔진만의 특징이 아닌, 이 엔진의 직렬 번호 시리즈에 대한 캠샤프트 구조는 아래와 같다.

Fig - 1.2 GD 시리즈 엔진의 캠샤프트 구조[3]

자동차 엔진은 보통의 경우 4행정(흡기 - 압축 - 폭발 - 배기)기관으로서[4] 캠 구조의 상사점 및 하사점에서 각기 수행되어야 '하는'(이 부분에서 눈치챘겠지만 그런 연유로 자동차는 하드-리얼타임 OS로 구동되어야 한다. 이건 다른 부분에서 언급할 것이므로 짤막하게 끝내겠다.)정확한 타이밍에 이그니션 플러그에서 방전을 해 주어 혼합기 내에 함유된 유증기에 불이 붙고, 이로 인해 폭발이 일어나는 구조가 바로 압축 - 폭발 행정 사이에 일어나는 일이다.

Fig - 1.3 4행정 기관의 대략적인 거동 영상

이 때 피스톤의 움직임을 정밀하게 만들어주는 것이 바로 이 캠인 것이다. 이 캠은 차의 운동을 관장하기 때문에 엄청나게 많은 운동을 담당하는 바, 캠 부품(및 다른 구동부품까지 두루 미칠 수 있는) 급유 시스템도 굉장히 중요할 것이다. 다음은 이 엔진의 급유 구조의 개략도이다.

Fig - 1.4 GD 시리즈 엔진의 급유 시스템

사실 캠에 있어서도 급유는 굉장히 중요한 요소이다. 상술하였듯 반복적인 운동이 지속되다 보면 표면의 마멸이 굉장히 중요한 이슈가 되기 때문이다. 이 때 적절한 급유가 수행된다면 캠 자체의 내구성을 굉장히 증대시킬 수 있다.

지금 한 예만 보더라도 캠이 관여하는 부분이 굉장히 많다. 목차를 미리 보신 영민하신 분들은 어느 정도 눈치채셨겠지만 목차의 네~다섯가지 부분 이상이 관여하고 있다는 걸 쉽게 아실 수 있을 것이다. 이외 다양한 산업 분야(화장품/식품 생산, 프레스 성형 및 수많은 분야)에서 캠-팔로워 시스템은 그 역할을 잘 수행하고 있다.

캠-팔로워 시스템의 경우에는 정밀한 운동을 반복하여 수행하는 시스템에 대단히 제격으로서, 액츄에이터가 부담해야 하는 복잡성을 굉장히 줄여주고 규칙적인 움직임을 통해 제어의 부담성도 줄여주는 여러모로 이점이 굉장히 많은 시스템이다. 우리는 이제 고속 작업과 고도의 정확성 및 정밀성, 고반복성을 담보하는 수많은 산업적 응용을 위해 실제 필요한 정보들과 캠을 제대로 설계하고 제조하기 위해 알아야 하는 수학적 기초를 같이 배워볼 것이다. 이제 이 시스템을 구성하는 캠, 캠-팔로워 시스템에 대해 차근차근 하나씩 배워 쌓아 올라가 보도록 하자.

References

1. p.1, ch.1, Norton, Robert L - Cam Design and Manufacturing Handbook, 2nd Ed (2009, Industrial Press, Inc)↩
2. 토요타 GD series 디젤 엔진 소개 페이지↩
3. 상동↩
4. Wikipedia 'Four-Stroke Engine' index↩

텐서(2) - 원통좌표계 및 구면좌표계에서의 위치벡터, 속도벡터 및 가속도벡터

이전 글에서는 원통좌표계 및 구면좌표계에서의 벡터 연산자에 대해서 알아보았다. 그런데 이전 글에서 이미 위치벡터를 구해 놓았으므로(물론 벡터연산자를 구하기 위한 목적으로), 이제 이를 이용하여 원통좌표계 및 구면좌표계에서의 속도 및 가속도벡터에 대해 구해보도록 하자.
$$[Cylindrical\,Coordinates]\,:\,x\,=\,r\,cos\theta,\,y\,=\,r\,sin\theta,\,z\,=\,z$$
$$\hat{\mathbb{q_r}}\,=\,e_r\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial r}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial r}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{cos\theta\,i\,+\,sin\theta\,j}{\begin{vmatrix}cos\theta\,i\,+\,sin\theta\,j\end{vmatrix}}\,=\,cos\theta\,i\,+\,sin\theta\,j,\,h_r\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial r}\end{vmatrix}\,=\,1$$
$$\hat{\mathbb{q_{\theta}}}\,=\,e_{\theta}\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial {\theta}}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial {\theta}}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{-r\,sin\theta\,i\,+\,r\,cos\theta\,j}{\begin{vmatrix}-r\,sin\theta\,i\,+\,r\,cos\theta\,j\end{vmatrix}}\,=\,-sin\theta\,i\,+\,cos\theta\,j,\,h_{\theta}\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \theta}\end{vmatrix}\,=\,r$$
$$\hat{\mathbb{q_z}}\,=\,e_z\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial z}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial z}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{k}{\begin{vmatrix}k\end{vmatrix}}\,=\,k,\,h_z\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial z}\end{vmatrix}\,=\,1$$
$$\mathbb{r}\,=\,x\,i\,+\,y\,j\,+\,z\,k\,=\,rcos\theta\,i\,+rsin\theta\,j\,+\,z\,k\,=\,r\,e_r\,+\,z\,e_z$$
$$[Cylindrical\,Coordinates]\,\begin{cases} \mathbb{r}\,= & re_r\,+\,ze_z \\ \mathbb{v}\,= & \frac{d\mathbb{r}}{dt}\,=\,\frac{d}{d\,t}\, (re_r\,+\,ze_z) \\ & =\,\frac{d\,r}{d\,t}e_r\,+\,r\,\frac{d\,e_r}{d\,t}\,+\frac{d\,z}{d\,t}\,e_z \\ & =\,\dot{r}\,e_r\,+\,r\,\dot{\theta}\,e_{\theta}\,+\dot{z}\,e_z \\ \mathbb{a}\,= & \frac{d\,\mathbb{v}}{d\,t} \\ & =\,\frac{d}{d\,t}\,[\dot{r}\,e_r\,+\,r\,\dot{\theta}\,e_{\theta}]\,+\,\frac{d}{d\,z}[\dot{z}\,e_z] \\ & =\,\ddot{r}\,e_r\,+\,\dot{r}\,\frac{d\,e_r}{d\,t}\,+\,\dot{r}\,\dot{\theta}\,e_{\theta}\,+\,r\,\ddot{\theta}\,e_{\theta}\,+r\,\dot{\theta}\,\cdot\,\dot{\theta}\,(-e_r)\,+\,\frac{d}{d\,t}\,(\frac{d\,z}{d\,t})e_z \\ & =\,[\ddot{r}\,-\,r({\dot{\theta}}^2)]e_r\,+\,[\dot{r}\,\ddot{\theta}\,+\,2\,\dot{r}\,\dot{\theta}]e_{\theta}\,+\,\ddot{z}\,e_z \end{cases} $$
$$[Spherical\,Coordinates]\,:\,x\,=\,\rho\,cos\theta\,sin\,\phi,\,y\,=\,\rho\,sin\theta\,sin\phi,\,z\,=\,\rho\,cos\phi$$
$$\hat{\mathbb{q_{\rho}}}\,=\,e_{\rho}\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \rho}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \rho}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{cos\theta\,sin\,\phi\,i\,+\,sin\theta\,sin\phi\,j\,+\,cos\phi\,k}{\begin{vmatrix}cos\theta\,sin\,\phi\,i\,+\,sin\theta\,\,sin\phi\,j\,+\,cos\phi\,k\end{vmatrix}}\,=\,cos\theta\,sin\,\phi\,i\,+\,sin\theta\,\,sin\phi\,j\,+\,cos\phi\,k,\,h_{\rho}\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial r}\end{vmatrix}\,=\,1$$
$$\hat{\mathbb{q_{\theta}}}\,=\,e_{\theta}\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial {\theta}}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial {\theta}}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{-\rho\,sin\theta\,sin\phi\,i\,+\,\rho\,cos\theta\,sin\phi\,j}{\begin{vmatrix}-\rho\,sin\theta\,sin\phi\,i\,+\,\rho\,cos\theta\,sin\phi\,j\end{vmatrix}}\,=-\,sin\theta\,i\,+\,cos\theta\,j,\,h_{\theta}\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \theta}\end{vmatrix}\,=\,\rho\,sin\phi$$
$$\hat{\mathbb{q_{\phi}}}\,=\,e_{\phi}\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \phi}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \phi}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{\rho\,cos\theta\,cos\,\phi\,i\,+\,\rho\,sin\,\theta\,cos\phi\,j\,-\,\rho\,sin\phi\,k}{\begin{vmatrix}\rho\,cos\theta\,cos\,\phi\,i\,+\rho\,sin\,\theta\,cos\phi\,j\,-\rho\,sin\phi\,k\end{vmatrix}}\,=\,cos\theta\,cos\,\phi\,i\,+\,sin\,\theta\,cos\phi\,j\,-\,sin\phi\,k,\,h_z\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial z}\end{vmatrix}\,=\,\rho$$
$$[Spherical\,Coordinates]\,\begin{cases} \mathbb{r}\,= & \rho\,e_{\rho} \\ \mathbb{v}\,= & \frac{d\,\rho}{d\,t}\,e_{\rho}\,+\,\rho\,\frac{d\,e_{\rho}}{d\,t} \\ & =\,\dot{\rho}\,e_{\rho}\,+\,\rho(\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta}\,\frac{d\,\theta}{d\,t}\,+\,\frac{\partial e_{\phi}}{\partial \phi}\,\frac{d\,\phi}{d\,t}) \\ & =\,\dot{\rho}\,e_{\rho}\,+\,\rho\,\dot{\theta}\,sin\,\phi\,e_{\theta}\,+\,\rho\,\dot{\phi}\,e_{\phi} \\ \mathbb{a}\,= & \frac{d\,\mathbb{v}}{d\,t} \\ & \ddot{\rho}\,e_{\rho}\,+\,\dot{\rho}(\dot{\theta}\,sin\,\phi\,e_{\theta}\,+\,\dot{\phi}\,e_{\phi})\,+\dot{\rho}\,\dot{\theta}\,sin\,\phi\,e_{\theta}\,+\,\rho\,\ddot{\theta}\,sin\,\phi\,+e_{\theta}\,+\,\rho\,\dot{\theta}\,cos\,{\phi}\,e_{\theta}\,-\,\rho\,\dot{\theta}\,sin\,\phi\,(sin\,\phi\,e_{\rho}\,+\,cos\,\phi\,e_{\phi})\,\dot{\theta}\,+\dot{\rho}\,\dot{\phi}\,e_{\phi}\,+\rho\,\ddot{\phi}\,e_{\phi} \\ & \,+\rho(\ddot{\phi}\,e_{\phi}\,+(-\dot{\phi}\,e_{\rho}\,+\,\dot{\theta}\,cos\,\phi\,e_{\theta})) \\ & =\,[\ddot{\rho}\,-\,\dot{\rho}\,{\dot{\phi}}^2\,-\,\rho\,\dot{\theta}\,sin^2\,\phi]e_{\rho}\,+\,[2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}\,sin\,\theta\,+\,2\,\rho\,\dot{\phi}\,\dot{\theta}\,cos\,\phi\,+\,\rho\,{\dot{\theta}}^2\,sin\,\phi]e_{\theta}\,+\,[\rho\,\ddot{\phi}\,+\,2\,\dot{\rho}\,\dot{\phi}\,-\,\rho\,{\dot{\theta}}^2\,sin\,\phi\,cos\,\phi]\,e_{\phi} \end{cases} $$
계산은 매우 길었다. 허나 가장 중요한 대원칙 둘만 제대로 상기하면 긴 계산도 깔끔하게 틀리지 않고 한 번에 유도해낼 수 있다. 바로 전미분 공식과 카테시안 기저벡터는 상수벡터라는 사실. 이렇게 구해놓은 계산식은 동역학을 공부하는 기계공학 전공의 공돌이들이 줄기차게 써먹을 식이다(...)

Blogger에서 글꼴 바꾸기 (나눔고딕체)

블로거에서 표현되는 글씨를 좀 이쁘게 바꾸고 싶을 때가 있다. 그런데 이걸 어떻게 하는지 몰라서 하기가 너무 힘든다고 하시는 분! 걱정 마시길 바란다. 여기 방법이 있다. 아주 간단하다.

먼저 밑줄친 코드를 삽입한 후 '테마 저장'을 클릭한다. 이것은 홈페이지 전체의 테마에 나눔고딕을 위한 CSS를 로딩하겠다는 의미이다. 다른 폰트를 로딩하고 싶은 분들은 아래의 페이지를 같이 켜 놓은 다음 절차를 따라가시기 바란다. (Google Fonts)

다음으로 로딩한 CSS를 삽입할 것이다. 다음 코드를 참조하길 바란다.

이것은 CSS 코드로서 편집 시 디폴트로 사용할 글꼴 세트를 나타내는 것이다. (W3Schools 해당 내용 - CSS Fonts)

글꼴마다 serif, sans-serif, monospace 등 generic family가 다르니 참조를 부탁드린다. 위의 폰트 CSS를 로딩하는 코드를 복사할 적에 이 폰트에 어떤 generic family가 적용되는지 아실 수 있을 것이다. 본인은 블로그에 '나눔고딕'체를 적용하고 싶어서 위에 나온 예시 코드로 작성했다. 참고로 그림에서도 보실 수 있지만 나눔고딕체는 generic family가 'sans-serif'이다.

위와 같이 코드를 작성하고 아래 그림에서 밑줄 그인 '맞춤 설정' 단추를 클릭한다.

그럼 다음과 같은 창이 뜨는데 여기에서 표시한 대로 클릭 후 텍스트를 복사한다.

블로그에 적용하면 된다.