1. 가우스 정리(Gauss' Theorem)
가우스의 정리의 내용을 간단히 말하자면, 어떤 부피 위의 표면에서 벡터 V를 면적분한 값은 그 부피 내에서 벡터 V의 발산을 체적분한 값과 같다는 내용이다. 수식으로는 다음과 같이 나타난다.
$$Gauss'\,Theorem:\,\iint_{\partial V}^{}\mathbb{V}\,d\,\sigma\,=\iiint_{V}^{}\,\nabla\,\cdot\,\mathbb{V}\,d\tau\,\,-\,\,(1) $$
이해를 돕기 위해 그림 하나를 보여 드리겠다.
Fig.1 - 3차원 체를 무한히 작은 격자로 나눈 것을 평면으로 절단한 것
이 평면은 3차원 체를 무한히 작은 격자로 나눈 것을 평면으로 자른 것이다.따라서 보이는 격자들은(가장 외곽에 있는 도형들을 제외하고)평행육면체가 되겠고,나뉘어진 선분 하나하나는 평면이 되겠다.평면을 빠져나가는 벡터 V를 한 평행육면체의 각각의 면에 대해서 면적분한 값들은 평행육면체 내에서의 벡터 V의 발산 값과 같다. 즉,$$\sum_{four\,sides}^\, \mathbb{V}\,d\sigma\,=\,(\nabla\,\cdot\,\mathbb{V})d\tau\,\,-\,\,(2)$$
이제, 평행육면체 하나하나에 대해서 다 더해 보자. 이 때, 중요한 사실 하나를 발견할 수 있는데, 그것은 인접한 평행육면체에서 다른 평행육면체로 나가는 벡터가 다른 평행 육면체에서 나가는 벡터와 상쇄된다는 것이다.이 때문에 체 내부에서의 모든 면적분의 값은 0이 되고, 남은 값은 오직 체의 표면을 통하여 나가는 벡터 V의 면적분 값 뿐이다.따라서, 위의 값은 다음과 같이 바뀐다.
$$\sum_{The\,exterior\,surfaces}^\, \mathbb{V}\,d\sigma\,=\sum_{Volume}^\,(\nabla\,\cdot\,\mathbb{V})d\tau\,\,-\,\,(3) $$
분할 수를 무한히 늘리고 합하게 되면 아래와 같은 식이 등장하게 되는 것이다.
$$Gauss'\,Theorem:\,\iint_{\partial V}^{}\mathbb{V}\,d\,\sigma\,=\iiint_{V}^{}\,\nabla\,\cdot\,\mathbb{V}\,d\tau $$
이해를 돕기 위해 같이 보시기 바란다. (내용 보기)
이쯤 되면 이 식의 용도가 궁금할 것이다. 왜 이런 머리아픈 것을 배워야 하는가? 이공학도, 특히 기계공학도들은 잘 알아두라. 이것은 적분형으로 복잡하게 나타난 연속방정식을 간단하게 풀이하는 데 쓰일 수 있다. (이 부분은 유체역학 관련 지식을 언급할 때 꼭 이야기하겠다.) 또한 전자기학에서 복잡한 적분을 풀어서 문제를 풀어야 하나 하고 암담해할 때 여러분들을 구원할 무기가 될 것이다. (이 부분은 전자기학 부분에서 다루겠다.)
2. 그린의 정리(Green's Theorem)
가우스 정리의 따름정리인 그린의 정리는 무엇인가...를 이야기하기 전에 일단 가장 처음에 마주하는 쓰임새부터 이야기하겠다. 이공학도들이 일반물리학에서 마주하게 되는 '가우스의 법칙(Gauss' law)'에서 전기장이 Uniform하다면 단순 폐곡면(Simple Closed Surface - Gauss' Surface라고 불리기도 한다)안을 통과하는 전기선속은 0이다'라는 괴랄하고 이해할 수 없는 말을 이해할 구원투수나 다름없는 중요한 정리이다(...그렇지만 이 부분도 전자기학 관련하여 서술할 때 이야기하겠다.). 또한 에너지 보존 이야기를 할 때 꼭 등장하는 떡밥이다(이건 기계공학 관련 이야기를 할 때 썰을 풀겠다.) 동기가 생기나? 그러면 들어가 보자.
그린 정리라는 것은 스칼라 함수에 대해 적용되는 것이다. 아마도 우리 대부분은 그린 정리를 이런 형태로 마주할 것이다.
$$\oint_{C}{}\,(Ldx\,+Mdy)=\,\iint_{D}{}(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})\,dxdy\,\,-\,\,(4)$$
$$(Where\,C\,is\,a\,positively\,oriented,\,piecewise\,smooth,\,simple\,closed\,curve\,in\,a\,plane,$$
$$and\,D\,is\,the\,region\,bounded\,by\,C,$$
$$L(x,y)\,,\,M(x,y)\,\subset\,\mathbb{R^2},\,and\,x,\,y\,\subset\,R) $$
그러나 서두에 밝혔듯 가우스 정리의 따름정리로서 성립된다는 것을 밝히기 위해 우리는 다음과 같은 요소들을 사용하려 한다. u와 v가 스칼라 함수라고 할 때, 우리는
$$\nabla\,\cdot\,(u\,\nabla\,v)\,=\,u\,\nabla\,\cdot\,\nabla\,v\,+\,(\nabla\,u)\,\cdot\,(\nabla\,v)\,\,-\,\,(5)$$
$$\nabla\,\cdot\,(v\,\nabla\,u)\,=\,v\,\nabla\,\cdot\,\nabla\,u\,+\,(\nabla\,v)\,\cdot\,(\nabla\,u)\,\,-\,\,(6)$$
식 (6)에서 (5)를 빼고 부피에 대해 적분한 후에 가우스 정리를 적용하면, 아래와 같은 식을 얻는다.
$$\iiint_{V}{}(u\,\nabla\,\cdot\,\nabla\,v\,-\,v\,\nabla\,\cdot\,\nabla\,u)\,d\,\tau\,=\,\unicode{x222F}_{\partial V}\,(u\,\nabla v\,-\,v\,\nabla\,u)\,\cdot\,d\,\sigma.\,\,-\,\,(7)$$
이걸로는 당장 이해가 힘들 것이다. 식 (5)만으로 독립 유도가 된다면, 다음과 같은 형태가 된다.
$$\unicode{x222F}_{\partial V}\,\nabla\,u\,\nabla\,v\,\cdot\,d\,\sigma\,=\,\iiint_{V}{}\,u\,\nabla\,\cdot\,\nabla\,v\,d\,\tau\,+\,\iiint_{V}{}\,\nabla\,u\,\cdot\,\nabla\,v\,d\,\tau\,\,-\,\,(8)$$
3. 스톡스 정리
사실 이 스톡스 정리는 설명 이전에 그림을 보도록 하자.
Fig.2 - 미소폐곡면을 이루는 선성분과 벡터장의 내적
가우스 정리에서와 마찬가지로, 주어진 미소폐곡면 내부를를 빠져나가는 벡터 V와 미소 선성분 dλ의 내적을 미소폐곡면이 이루는 폐곡선을 따라 합하면, 회전의 정의에 따라 다음과 같은 식으로 나타난다. $$\sum_{four\,sides}^\, \mathbb{V}\,\cdot\,d\lambda\,=\,\nabla\,\times\,\mathbb{V}\,\cdot\,d\,\sigma\,\,-\,\,(9) $$
이제 마찬가지로 미소폐곡면을 무한히 작게 만들고 갯수를 무한히 많게 만들어 합하면 다음과 같은 식이 된다. $$\sum_{exterior\,line\,segments}^{}\, \mathbb{V}\,\cdot\,d\lambda\,=\,\sum_{rectangles}^{}\nabla\,\times\,\mathbb{V}\,\cdot\,d\,\sigma\,\,-\,\,(10) $$
$$\oint_{\partial S}^{}\, \mathbb{V}\,\cdot\,d\lambda\,=\,\iint_{S}^{}\nabla\,\times\,\mathbb{V}\,\cdot\,d\,\sigma\,\,-\,\,(11) $$
방금 나타낸 스톡스 정리의 표현은 우리가 벡터 V의 회전을 나타낼 때 벡터장 V(x,y,z)의 맥클로린 전개를 이용한다는 전제 조건 하에 시행된 것이다. 다음으로는 이 정리에 의해 파생된 '퍼텐셜 이론'에 대해서 알아보겠다.
4. 퍼텐셜 이론(Potential Theory)
공간 V 내에 단순 연결된 구획에서의 힘이 스칼라 함수 Φ의 음의 그래디언트로 나타난다 하자. 즉,
$$\mathbb{F}\,=\,-\nabla\phi \,\,-\,\,(12)$$
와 같을 때, 우리는 Φ를 세 개의 함수 대신 한 개의 함수로 이루어진 힘 F의 스칼라 퍼텐셜이라고 한다.
이 때 힘 F를 보존력이라 하고 다음의 두 가지 성질이 적용된다.
$$\nabla\,\times\,\mathbb{F}\,=\,0 \,\,-\,\,(13)$$
$$\oint_\,\mathbb{F}\,\cdot\,d\mathbb{r}\,=\,0 \,\,-\,\,(14)$$
12번 식은
$$\nabla\,\times\,(-\nabla\,\phi) = -\left[{\begin{array}{cc} {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ {F_x} & {F_y} & {F_z} \\ \end{array} } \right]\,=\,0\,\,-\,\,(15)$$
라는 것을 쉽게 보일 수 있고, 14번 식은
$$\oint_\,\mathbb{F}\,\cdot\,d\,\mathbb{r}\,=\,-\oint_\,\nabla\,\phi\,\cdot\,d\mathbb{r}\,=\,-\oint\,d\,\phi\,\,-\,\,(16)$$
로 나타나는데, 이 함수 자체가 폐경로에 대한 적분이므로 시작점과 끝점이 같아 결국 적분값은 0이 된다.
이러한 힘 F에 대하여 점 A부터 점 B까지 한 일은 다음과 같이 나타난다.
$$Work\,done\,by\,force\,=\,\int_A^B\,\mathbb{F}\,\cdot\,d\,\mathbb{r}\,=\,\phi(A)\,-\phi(B).\,\,-\,\,(17) $$
식 16과 같은 형태는 위치 에너지, 열역학에서의 열에너지 및 엔탈피 계산 및 굉장히 많은 부분에서 사용된다. 이전까지 그런 부분에 대해 모르고 사용했다면 이제는 이러한 수학적 베이스가 있다는 것을 인지하고 사용하도록 하자.