우리가 학교에서 배운 물리학에 의하면 힘
\vec{F} = m \vec{a} (in\,\, case\,\, that\,\, \dot{m}\, =\, 0)
Fig - 2.1
로 나타난다. 그런데 변형은 단위면적당 가해지는 힘, 즉 응력\sigma = \frac{F} {A_0}
(Where\,\,A_0:\,\, The\,\,Original\,\,Area\,\,of\,\,specimen
Which\,\,is\,\,considered\,\,as\,\,Cylindrical\,\,Perpendicular\,\,Area\,\,A_0\,\,=\,\, \frac{\pi{d_0}^{2}}{4})
로 나타난다. 변형에는 선형 변형, 비틀림 변형 및 구부러짐 변형이 있는데 구부림 변형을 제외하고 하나씩 알아보기로 한다. 우선 선형 변형 strain은
\epsilon=\frac{l-l_0}{l_0}\,\,
(Where\,\,l: length\,\,of\,\,specimen\,\,after\,\,deflection,\,\,l_0:\,\,initial\,\,length\,\,of\,\,specimen)
이고, 이 때 Hooke's law에 따라 해석의 대상이 되는 조각(specimen)에 대한 응력 시그마는
\sigma = \frac{F} {A_0} = E\epsilon
Where\,\,E\,\,=\,\,\frac{\sigma}{\epsilon}\,\,=\,\, \frac{\sigma l_0}{l-l_0} 와 같이 나타난다. 이 때 E를 Young's Modulus 또는 Modulus of Elasticity라고 한다. 이 E는 재료의 강성이 얼마나 되는지에 대한 척도가 되고, strain의 차원이 없기 때문에 E는 Stress의 단위와 똑같은 값을 가진다.
Fig - 2.2
Fig 2.2의 a)는 연성(Ductile) 물질의 'Engineering' strain - stress 그래프이다. pl은 proportional limit, 즉 \sigma = E\epsilon
가 적용될 수 있는 한계지점이고, el은 elastic limit이다. elastic deformation, 즉 탄성 변형은 물체가 변형된 후 원래대로 돌아올 수 있는 한계 내에서의 변형을 뜻하는데, elastic limit은 이러한 탄성 변형의 한계 지점을 이야기하는 것이다.
모든 재료가 확실한 yield point(소성변형(plastic deformation) -비가역적 변형- 이 오기 시작하는 지점) - 특히 취성재료, Fig 2.2의 b)의 그래프로 나타나는 물성 -를 가지고 있지 않으므로 이것을 알아보기 위해 offset method를 사용한다.
Offset Method란, yield stress S_y 지점으로부터 pl에서 나타나는 기울기와 일치하는 기울기의 직선을 그어서 stress가 0이 되는 지점과 strain 축이 만나는 지점을 찾는 방법이다. 이 방법을 통해 el, pl을 각기 구해야 하는 복잡한 상황을 회피하고 물체의 변형 거동을 근사적으로 나타낼 수 있다. 공학은 복잡한 상황을 단순화하고 상황에 맞추어 빠른 해석을 가능하게 하는 데에 그 묘미가 있다.
다음으로 Ultimate(Tensile) Strength와 Fracture Strength가 있다.
연성 물질의 경우(Fig 2.2 a))는 Ultimate Strength 이후에 늘어지는 현상이 급격히 진행되어 일정한 strain, 즉 fracture strain e_f에 도달하면 물질이 파손된다. 이 때 가해지는 응력을 Fracture Strength라고 한다.
취성 물질의 경우(Fig 2.2 b))는 Ultimate Strength와 Fracture Strength가 같다. 즉, 연성 물질의 경우에는 늘어지는 지점과 파손되는 지점 사이에 간극이 있었지만 취성 물질의 경우 그 간극이 없다. 즉, 늘어질 것 같다고 느낄 새도 없이 바로 물질이 깨져 버린다는 뜻이다.
Fig 2.2는 전부 Engineering, 즉 A_0를 일정한 값으로 두었을 때의 Strain - Strength Curve이다. 실제로 과학에서 사용하는 Strain - Stress Curve는 아래와 같은 Neckling 현상을 염두에 두고 표면적의 변화까지 고려한다.
Fig - 2.3
Fig - 2.4
이 때의 Strain은 아래와 같이 계산한다. \int_{l_0}^{l} \frac{dl}{l}\,\,=\,\, ln\frac{l}{l_0}
선형 변형에 대해 알아보았으니 이제 비틀림 변형(Torsional Deformation)에 대해 보도록 하자. 이 때는 Torque-Twist Diagram으로서 비틀림과 응력 사이의 관계를 관측할 수 있다. 최대 전단 응력(Maximum Shear Stress)와 비틀림 각도 theta 사이에는 아래와 같은 관계가 있다.
\tau _{max}\,\,=\,\, \frac{Gr}{l_0}\theta
(Where\,\,G:\,\,shear\,\,modulus\,\,,r:\,\,radius\,\,of\,\,specimen,\,\,\theta:\,\,angle\,\,of\,\,twist)
그런데, 최대 전단 응력은 또한 토크와 다음과 같은 관계가 있다.
\tau_{max}\,\,=\,\,\frac{Tr}{J}
(Where\,\,T:\,\,applied\,\,torque\,\,,J\,\,=\,\,\frac{\pi r^{4}}{2},\,\,polar\,\,2nd\,\,moment\,\,of\,\,area\,\,of\,\,the\,\,cross\,\,section.)
비틀림 변형에 있어서 modulus of rupture는
S_{su}\,\,=\,\,\frac{T_u r}{J}
(Where\,\,S_{su}:\,\,modulus\,\,of\,\,rupture,\,\,T_u:\,\,applied\,\,torque\,\,corresponding\,\,to\,\,point\,\,u)
로 표시되는데, 참고할 것은 modulus of rupture를 ultimate torsional strength로 부르는 것은 절대로 정확한 표현이 아니라는 것이다. 이는 T_u가 소성변형 상태에 들어선 상태에서의 토크 값이라는 점 때문에 그렇다.
참고 자료 목록
1. p.28~ p.31, Shigley's Mechanical Engineering - 8th edition