이제 기저벡터의 변환에 대해 이야기해보자. R^3 위에서의 일반적인 직교기저를 각각 q1, q2, 그리고 q3로 놓으면 x, y, z는 다음과 같이 변환된다.
$$x\,=\,x\,(q_1,\,q_2,\,q_3),\,y\,=\,y\,(q_1,\,q_2,\,q_3)\,,z\,=\,z\,(q_1,\,q_2,\,q_3)$$
$$\Leftrightarrow\,q_1\,=\,q_1\,(x,\,y,\,z),\,q_2\,=\,q_2\,(x,\,y,\,z),\,q_3\,=\,q_3\,(x,\,y,\,z)$$
그러면 이 좌표계 위에서의 벡터 V는
$$\mathbb{V}\,=\,\hat{\mathbb{q_1}}\,V_1\,+\,\hat{\mathbb{q_2}}\,V_2\,+\hat{\mathbb{q_3}}\,V_3$$
이지만, 이것이 위치벡터 r과의 관계는
$$\mathbb{r}\,\neq\,\hat{\mathbb{q_1}}\,q_1\,+\,\hat{\mathbb{q_2}}\,q_2\,+\hat{\mathbb{q_3}}\,q_3 $$
이다. 참고로 위치벡터 r은 다음과 같은 벡터이다.
$$\mathbb{r}\,=\,x\,i+\,y\,j+\,z\,k\,=\,xe_1\,+\,ye_2\,+\,ze_3$$
위치벡터는 보통 카테시안 좌표계와 연관지어서 설명하는데, 이 때
$$\hat{\mathbb{q_1}}\,=\, \frac{\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_1}}}{\left|\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_1}}\right|},\, \hat{\mathbb{q_2}}\,=\, \frac{\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_2}}}{\left|\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_2}}\right|},\,\hat{\mathbb{q_3}}\,=\, \frac{\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_3}}}{\left|\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_3}}\right|},$$
이다. 이제 계산의 편의상
$$h_1\,=\,\left|\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_1}}\right|,\,h_2\,=\,\left|\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_2}}\right|,\,h_3\,=\,\left|\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_3}}\right| $$
로 바꾸자. 위치벡터는 불변량이기 때문에 좌표계에 따라 '표현형'이 달라질 가능성은 항상 내포하고 있는 것이다. 이제 미분형 변환을 해 보도록 하자. x, y, z가 각각 q1, q2, q3의 함수로 나타났기 때문에 미분형은 다음과 같다.
$$d\,x=\,\frac{\partial x}{\partial {q_1}}dq_1\,+\,\frac{\partial x}{\partial {q_2}}dq_2\,+\,\frac{\partial x}{\partial {q_3}}dq_3 $$
$$d\,y=\,\frac{\partial y}{\partial {q_1}}dq_1\,+\,\frac{\partial y}{\partial {q_2}}dq_2\,+\,\frac{\partial y}{\partial {q_3}}dq_3 $$
$$d\,z=\,\frac{\partial z}{\partial {q_1}}dq_1\,+\,\frac{\partial z}{\partial {q_2}}dq_2\,+\,\frac{\partial z}{\partial {q_3}}dq_3 $$
잠시, 우리가 알아볼 것은 직교좌표계라고 했다. 카테시안 좌표계에서 ds^2는
$$ds^2\,=\,dx^2\,+\,dy^2\,+\,dz^2 $$
이다. 이제 일반의 '직교'좌표계의 ds^2에 대해 알아보자.
$$ds^2\,=\,d\mathbb{r}\,\cdot\,d\mathbb{r}\,=\,d\mathbb{r}^2\,=\,\sum_{ij}^{}\,\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_i}}\,\cdot\,\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_j}}$$
$$=\,g_{11}{dq_1}^2\,+\,g_{12}dq_1\,dq_2+g_{13}dq_1\,dq_3+g_{21}dq_2\,dq_1\,+\,g_{22}{dq_2}^2\,+g_{23}dq_2\,dq_3+g_{31}dq_3\,dq_1+\,g_{32}dq_3\,dq_2+g_{33}{dq_3}^2$$
$$where\,g_{ij}\,=\,\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_i}}\,\cdot\,\frac{\partial{\mathbb{r}}}{\partial{q_j}}$$
이때 '직교'좌표계라고 했던 것을 기억하길 바란다. 이 말은 ds^2는 dr과 dr의 내적 값이므로 i,j 인덱스가 다른 경우의 g_ij는 0이라는 말이다. 그렇기 때문에 ds^2는
$$ds^2\,=\,{(h_1\,dq_1)}^2\,+\,{(h_2\,dq_2)}^2\,+\,{(h_3\,dq_3)}^2\,=\,\sum_{i}{}{(h_i\,dq_i)}^2 $$
가우스 정리와 스톡스 정리 등의 여러 가지 정리들이 변환된 좌표계에서 성립하는지 보이기 위해 몇 가지 준비를 해 보자. 선적분과 면적분은 다음과 같이 나타난다.
$$[Line\,Integral]\,:\,\int\,\mathbb{V}\,\cdot\,d\mathbb{r}\,=\,\sum_{i}{}\,\int\,V_i\,h_i\,dq_i $$
$$[Surface\,Integral]\,:\int\,\mathbb{V}\,\cdot\,d\mathbb{\sigma}\,=\sum_{i}{}\,\int\,V_i\,\prod_{l,\,l\neq\,i}\,h_l\,d\,q_l $$
내적과 외적은 카테시안 좌표계 위에서의 값과 똑같다. 또한, 주지하다시피 좌표계가 변환되었기 때문에 넓이 dxdy와 부피 dxdydz의 경우에도 변환에 의한 값이 곱해진다. 이것은 각각 변환된 두, 세 기저벡터가 이루는 평행사변형, 평행육면체의 넓이 및 부피와 같다. 이 식을 Jacobian, J라고 표현한다. 즉
$$J_2\,=\,dxdy\,=\,d\,\mathbb{r_1}\,\times\,d\,\mathbb{r_2}\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial {q_1}}&\frac{\partial x}{\partial {q_2}} \\ \frac{\partial y}{\partial {q_1}} & \frac{\partial y}{\partial {q_2}} \end{vmatrix}\,dq_1\,dq_2$$
$$J_3\,=\,dxdydz\,=\,d\,\mathbb{r_1}\,\times\,d\,\mathbb{r_2}\,\cdot\,d\,\mathbb{r_3}\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial {q_1}}&\frac{\partial x}{\partial {q_2}}&\frac{\partial x}{\partial {q_3}} \\ \frac{\partial y}{\partial {q_1}} & \frac{\partial y}{\partial {q_2}} & \frac{\partial y}{\partial {q_3}} \\ \frac{\partial z}{\partial {q_1}} & \frac{\partial z}{\partial {q_2}} & \frac{\partial z}{\partial {q_3}} \end{vmatrix}\,dq_1\,dq_2\,dq_3$$
$$(Where\,J_2\,:\,Jacobian\,on\,\mathbb{R}^2\,,\,J_3\,:\,Jacobian\,on\,\mathbb{R}^3) $$
R^2나 R^3에서의 좌표변환을 표현할 때 선성분은 각기 h_i배씩 늘어나고, 기존 좌표를 기저 좌표로 변환시킬 때에는 변환되는 좌표계의 기저벡터 q_i에 h_i배가 붙는다. 따라서 R^3의 경우 Jacobian은 h_1*h_2*h_3가 된다.
이러한 배경으로 인해 General Curvilinear Coordinates 상에서의 벡터 연산자들은 다음과 같다.
$$[Gradient]\,:\,\nabla\psi(q_1,\,q_2\,q_3)\,=\,\hat{\mathbb{q_1}}\frac{\partial \psi}{\partial {s_1}}\,+\,\hat{\mathbb{q_2}}\frac{\partial \psi}{\partial {s_2}}\,+\,\hat{\mathbb{q_3}}\frac{\partial \psi}{\partial {s_3}}\,=\,\hat{\mathbb{q_1}}\frac{1}{h_1}\frac{\partial \psi}{\partial {q_1}}\,+\,\hat{\mathbb{q_2}}\frac{1}{h_2}\frac{\partial \psi}{\partial {q_2}}\,+\,\hat{\mathbb{q_3}}\frac{1}{h_3}\frac{\partial \psi}{\partial {q_3}}\,=\,\sum_{i}\,\hat{\mathbb{q_i}}\,\frac{1}{h_i}\,\frac{\partial \psi}{\partial {q_i}} $$
$$[Divergence]\,:\,\nabla\,\cdot\,\mathbb{V}\,(q_1,\,q_2\,q_3)\,=\,\lim_{\int_\,d\tau \to 0}\frac{\int\,\mathbb{V}\,\cdot\,d\mathbb{\sigma}}{\int_\,d\tau}\,=\,\frac{\sum_{i}^{n}[\frac{\partial}{\partial {q_i}}(V_i\,\prod_{j,\,j\neq\,i}^{n}\,h_j]\prod_{i}^{n}dq_i}{\prod_{i}^{n}h_i\,dq_i}\,=\,\frac{1}{\prod_{i}^{n}\,h_i}\,\sum_{i}^{n}\,[V_i\,\prod_{j,\,j\neq\,i}^{n}\,h_j]$$
이 글은 n=3인 경우에 대해 작성하므로 n=3을 대입하면 원하는 답이 나온다. 만일 V = ∇Ψ(q1, q2, q3)를 사용한다면 Laplacian on the General Curvilinear Coordinates에 대해서도 바로 도시할 수 있다.
$$[Laplacian]\,:\,\nabla^2\,\cdot\,\psi\,=\,\nabla\,\cdot\,\nabla\,\psi\,(q_1,\,q_2,\,q_3)\,=\,\frac{1}{\prod_{i}^{n}\,h_i}\,\sum_{i}^{n}[\frac{\partial}{\partial {q_i}}(\frac{\prod_{j,\,j\neq\,i}^{n}\,h_j}{h_i}\,\frac{\partial \psi}{\partial {q_i}})] $$
마찬가지로 n=3을 대입해 주면 답이 나오겠다.
마지막으로 Curl 연산자가 남아있다. V에 대한 Curl은 다음과 같이 계산된다.
$$[Curl]\,:\,\nabla\,\times\,\mathbb{V}\,=\,\prod_{i}^{n}\,\frac{1}{h_i}\,\hat{q_i}\,h_i\,\times\,\frac{\partial}{\partial {q_i}}\vec{e_i}\,\cdot\,h_i\,\vec{V_i} $$
이제 Cylindrical Coordinates와 Spherical Coordinates에서 x,y,z의 변환좌표를 대입해주면
$$[Cylindrical\,Coordintates]\,:\,x\,=\,r\,cos(\theta),\,y\,=\,r\,sin(\theta),\,z\,=\,z $$
$$[Spherical\,Coordintates]\,:\,x\,=\,\rho\,cos(\theta)\,sin(\phi)\,y\,=\,\rho\,sin(\theta)\,sin(\phi)\,z\,=\,\rho\,cos(\phi) $$
에 대하여 위치벡터의 미분형, h, q1, q2, q3와 연관지은 벡터 V 등등 여러 가지 패러미터의 계산이 가능하다.
$$[Cylindrical\,Coordinates]\,:\,x\,=\,r\,cos\theta,\,y\,=\,r\,sin\theta,\,z\,=\,z$$
$$\hat{\mathbb{q_r}}\,=\,e_r\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial r}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial r}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{cos\theta\,i\,+\,sin\theta\,j}{\begin{vmatrix}cos\theta\,i\,+\,sin\theta\,j\end{vmatrix}}\,=\,cos\theta\,i\,+\,sin\theta\,j,\,h_r\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial r}\end{vmatrix}\,=\,1$$
$$\hat{\mathbb{q_{\theta}}}\,=\,e_{\theta}\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial {\theta}}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial {\theta}}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{-r\,sin\theta\,i\,+\,r\,cos\theta\,j}{\begin{vmatrix}-r\,sin\theta\,i\,+\,r\,cos\theta\,j\end{vmatrix}}\,=\,-sin\theta\,i\,+\,cos\theta\,j,\,h_{\theta}\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \theta}\end{vmatrix}\,=\,r$$
$$\hat{\mathbb{q_z}}\,=\,e_z\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial z}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial z}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{k}{\begin{vmatrix}k\end{vmatrix}}\,=\,k,\,h_z\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial z}\end{vmatrix}\,=\,1$$
$$\mathbb{r}\,=\,x\,i\,+\,y\,j\,+\,z\,k\,=\,rcos\theta\,i\,+rsin\theta\,j\,+\,z\,k\,=\,r\,e_r\,+\,z\,e_z$$
$$[Spherical\,Coordinates]\,:\,x\,=\,\rho\,cos\theta\,sin\,\phi,\,y\,=\,\rho\,sin\theta\,sin\phi,\,z\,=\,\rho\,cos\phi$$
$$\hat{\mathbb{q_{\rho}}}\,=\,e_{\rho}\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \rho}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \rho}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{cos\theta\,sin\,\phi\,i\,+\,sin\theta\,sin\phi\,j\,+\,cos\phi\,k}{\begin{vmatrix}cos\theta\,sin\,\phi\,i\,+\,sin\theta\,\,sin\phi\,j\,+\,cos\phi\,k\end{vmatrix}}\,=\,cos\theta\,sin\,\phi\,i\,+\,sin\theta\,\,sin\phi\,j\,+\,cos\phi\,k,\,h_{\rho}\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial r}\end{vmatrix}\,=\,1$$
$$\hat{\mathbb{q_{\theta}}}\,=\,e_{\theta}\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial {\theta}}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial {\theta}}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{-\rho\,sin\theta\,sin\phi\,i\,+\,\rho\,cos\theta\,sin\phi\,j}{\begin{vmatrix}-\rho\,sin\theta\,sin\phi\,i\,+\,\rho\,cos\theta\,sin\phi\,j\end{vmatrix}}\,=-\,sin\theta\,i\,+\,cos\theta\,j,\,h_{\theta}\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \theta}\end{vmatrix}\,=\,\rho\,sin\phi$$
$$\hat{\mathbb{q_{\phi}}}\,=\,e_{\phi}\,=\,\frac{\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \phi}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial \phi}\end{vmatrix}}\,=\,\frac{\rho\,cos\theta\,cos\,\phi\,i\,+\,\rho\,sin\,\theta\,cos\phi\,j\,-\,\rho\,sin\phi\,k}{\begin{vmatrix}\rho\,cos\theta\,cos\,\phi\,i\,+\rho\,sin\,\theta\,cos\phi\,j\,-\rho\,sin\phi\,k\end{vmatrix}}\,=\,cos\theta\,cos\,\phi\,i\,+\,sin\,\theta\,cos\phi\,j\,-\,sin\phi\,k,\,h_z\,=\,\begin{vmatrix}\frac{\partial \mathbb{r}}{\partial z}\end{vmatrix}\,=\,\rho$$
$$\mathbb{r}\,=\,x\,i\,+\,y\,j\,+\,z\,k\,=\,\rho\,cos\theta\,sin\,\phi\,i\,+\rho\,sin\theta\,sin\phi\,j\,+\,\rho\,cos\phi\,k\,=\,\rho\,e_{\rho}$$
카테시안 좌표계의 경우를 제외하면 벡터 연산자는 위에서 구한 각 경우의 위치벡터 및 h1, h,2 h3에 의해 다음과 같이 나타난다.
$$[Cylindrical\,Coordinates]\,\begin{cases}\nabla\,\psi\,=\,e_r\,\frac{\partial \psi}{\partial r}\,+\,e_{\theta}\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\,+\,e_z\,\frac{\partial \psi}{\partial z} & \mbox{gradient} \\ \nabla\,\cdot\,\mathbb{V}\,=\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial }{\partial r}\,(r\,V_r)\,+\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial {V_\theta}}{\partial \theta}\,+\,\frac{\partial {V_z}}{\partial z} & \mbox{divergence} \\ {\nabla}^2\,\psi\,=\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial }{\partial r}(r\,\frac{\partial \psi}{\partial r})\,_\,\frac{1}{r^2}\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial \theta^2}\,+\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} & \mbox{laplacian} \\ \nabla\,\times\,\mathbb{V}\,=\,\frac{1}{r}\,\begin{vmatrix} e_r & r\,e_{\theta} & e_z \\ \frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ V_r & r\,V_{\theta} & V_z \end{vmatrix} & \mbox{curl} \end{cases} $$
$$[Spherical\,Coordinates]\,\begin{cases}\nabla\,\psi\,=\,e_{\rho}\,\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\,+\,e_{\theta}\,\frac{1}{\rho\,sin\,\phi}\,\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\,+\,e_\,{\phi}\,\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial \psi}{\partial \phi} & \mbox{gradient} \\ \nabla\,\cdot\,\mathbb{V}\,=\,\frac{1}{{\rho}^2\,sin\,\phi}\,[sin\,\phi\,\frac{\partial}{\partial \rho}\,({\rho}^2\,V_{\rho}\,+\,\frac{\partial}{\partial\,\theta}\,(\rho\,V_{\theta})\,+\,\frac{\partial}{\partial \phi}\rho(sin\,\phi\,V_{\phi}))] & \mbox{divergence} \\ {\nabla}^2\,\psi\,=\,\frac{1}{{\rho}^2\,sin\,\phi}\,[\frac{\partial}{\partial \rho}({\rho}^2\,sin\,\phi\,\frac{\partial \psi}{\partial \rho})\,+\,\frac{\partial }{\partial \theta}(\frac{1}{sin\,\phi}\,\frac{\partial \psi}{\partial \theta})\,+\,\frac{\partial}{\partial \phi}(sin\,\phi\,\frac{\partial \psi}{\partial \phi})] & \mbox{laplacian} \\ \nabla\,\times\,\mathbb{V}\,=\,\frac{1}{{\rho}^2\,sin\,\phi}\,\begin{vmatrix} e_{\rho} & \rho\,sin\,\phi\,e_{\theta} & \rho\,e_{\phi} \\ \frac{\partial }{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial \phi} \\ V_{\rho} & \rho\,sin\,\phi\,V_{\theta} & \rho\,V_{\phi} \end{vmatrix} & \mbox{curl} \end{cases} $$