일찌기 푸리에 선생(맞다, 우리를 푸리에 급수 및 푸리에 변환으로 오지게 괴롭힌 그 푸리에 말이다.)은 등방성 물질에서의 열의 확산과 온도 분포함수 간에 다음의 관계가 있음을 밝혀냈다.
\mathbb{q} = -k\,\nabla\,T
(where\,\mathbb{q}:\,local\,heat\,flux\,[W^{-1}\times\,m^2],\,k:\,heat\,conductivity\,[W\,\times m^{-1}\,\times\,K^{-1}],\,\nabla T:\,Temperature\,gradient\,[K\times\,m^{-1}])\,-\,(1)
이 열의 확산이 온도에 의해 이런 관계가 된다는 것을 하나하나 차근차근 살펴보자. 우선 우리는 열역학에 의해 다음과 같은 식을 획득했다.
\overset{\cdot}{E}_{in}\,+\,\overset{\cdot}{E}_{gen}-\overset{\cdot}{E}_{out}\,=\,\overset{\cdot}{E}_{stored}\,-\,(2)
\overset{\cdot}{E}_{g}\,=\,\overset{\cdot}{q}\,dx\,dy\,dz\,-\,(3)
\overset{\cdot}{E}_{st}\,=\,\rho\,c_p\,\frac{\partial\,T}{\partial\,t}\,d\,xd\,yd\,z\,-\,(4)
그러면 이제 남은 것은
\overset{\cdot}{E}_{in}\,,\,\overset{\cdot}{E}_{out}\,-\,(5)
뿐인데, 전자와 후자 모두 우리가 밝혀낼 것이다. 아래와 같은 그림
Figure 1. - 열방정식의 해석 대상이 되는 미소 체적.
[Figure 1.] 에서 우리는 들어오는 열량을 x,y,z에 대해서 간주하고, 나가는 열량을 x+dx, y+dy, z+dz에 대해 간주하기로 한다. 그러면 다음과 같이 테일러 전개를 수행하여.
q_{x+d\,x}\,=\,q_x\,+\,\frac{\partial q_x}{\partial x}\,d\,x \,-\,(6)
q_{y+d\,y}\,=\,q_y\,+\,\frac{\partial q_y}{\partial y}\,d\,y \,-\,(7)
q_{z+d\,y}\,=\,q_z\,+\,\frac{\partial q_z}{\partial z}\,d\,z \,-\,(8)
을 각각 도출해낼 수 있다. 그러면 식 (2)에 (3), (4) 및 (6), (7), (8)을 반영하여 아래와 같은 계산이 나온다.
q_x\,+\,q_y\,+\,q_z\,+\,\overset{\cdot}{q}\,dx\,dy\,dz\,-\,(q_x\,+\,\frac{\partial q_x}{\partial x}\,d\,x)\,-\,(\,q_y\,+\,\frac{\partial q_y}{\partial y}\,d\,y)-(\,q_z\,+\,\frac{\partial q_z}{\partial z}\,d\,z)\,=\,\rho\,c_p\,\frac{\partial\,T}{\partial\,t}\,d\,xd\,yd\,z \,-\,(9)
이제 위 결과의 양변을 dxdydz로 나누고 (1) 식을 사용해 축약하면
k\,\nabla^2\,T\,+\,\overset{\cdot}{q}\,=\,\rho\,c_p\,\frac{\partial\,T}{\partial\,t}\,-\,(10)
이 도출된다. 이것에 대해 조금 더 수학적으로 엄밀하게 알려면 다음을 참고하라. (내용 보기)
종종 우리는 파이프나 구에 대해서도 열방정식을 풀어야 할 때가 있다. 원래 식 (10)과 같은 경우는 직각좌표계에서 굉장히 간단하게 나타나지만 원통형 좌표계와 구면 좌표계에서의 편미분방정식은 굉장히 복잡하다. 대부분의 공학 전공 학생들의 경우 전공 수업시간에는 아래의 방정식들을 그냥 외우도록만 했을 것이다.
\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r}(k\,r\,\frac{\partial T}{\partial r})\,+\,\frac{1}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial \phi}(k\,\frac{\partial T}{\partial \phi})\,+\,\frac{\partial}{\partial z}(k\,\frac{\partial T}{\partial z})\,+\,\overset{\cdot}{\mathbb{q}}\,=\,\rho\,c_p\,\frac{\partial\,T}{\partial\,t}\,-\,(11)\,\,[Cylindrical\,Coordinates]
\frac{1}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial r}(k\,r^2\,\frac{\partial T}{\partial r})\,+\,\frac{1}{r^2\,sin^2\theta}\,\frac{\partial}{\partial \phi}(k\,\frac{\partial T}{\partial \phi})\,+\,\frac{1}{r^2\,sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(k\,sin \theta\,\frac{\partial T}{\partial \theta})\,+\,\overset{\cdot}{\mathbb{q}}\,=\,\rho\,c_p\,\frac{\partial\,T}{\partial\,t}\,-\,(12)\,\,[Spherical\,Coordinates]
이에 대해서는 Mathematics 페이지의 Vector Calculus 8번 글을 참조하길 바란다. (8. 텐서(1) - R^3에서의 직각좌표계 및 벡터 연산자)
다음 글은 몇 가지 Boundary Condition과 그 해법에 대해 알아 보고 몇 가지 예제 문제를 풀어보겠다.